Belirli ve belirsiz İntegral hesaplama yöntemleri

tarafından
3
Belirli ve belirsiz İntegral hesaplama yöntemleri
  1. BELİRSİZ İNTEGRAL

I.1.Belirsiz İntegralin Tanımı: Türevi f(x) olan bir F(x) fonksiyonuna f(x)’in ilkel fonksiyonu ve diferansiyeli f(x)dx olan F(x) fonksiyonunda f(x)dx ‘in belirsiz integrali denir.

dF(x) = f(x)dx      veya                       =f(x)

İse

F(x)  = ∫ f(x)dx

Dir. Genel olarak:

∫ f(x)dx  = F(x) + c

dir. Buradaki C keyfi sabittir.

I.2 BAŞLICA İNTEGRAL TEOREMLERİ VE İNTEGRAL TABLOSU

u ve v(x)’in fonksiyonları: a,b,c sabitler olmak üzere aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.

1   ∫    df(x)  =  f(x) + c

2    ∫  d f(x) =  f(x)dx

3    ∫  odx = c

4    ∫  a f(x)dx = a ∫f(x)dx

5    ∫  (u + v +w + …)dx = ∫ udx + ∫vdx + ∫wdx + …

6     ∫ udv = uv –∫ vdu

7     ∫  = dx = uv- ∫v  dx

8     ∫ f(y)dx = ∫

9     ∫ du =

  1. ∫  =  logu + c

11    ∫  du =

12    ∫           audu =

13    ∫           sinudu = – cosu + c

14    ∫           cosudu = sinu + c

15    ∫           tgudu = logsecu + c = -logcosu + c

16    ∫           cotgudu = logsinu + c

17     ∫          secudu = log (secu + tgu) + c = log + g ( + c

18     ∫          cosecudu = log (cosecu – cotgu) + c = log + g  + c

19     ∫          udu = u + sin u cos u + c =  u – sin 2u + c

20     ∫udu = u +  sin u cosu + c =  u + sin 2u + c

21     ∫          udu + tgu + c

22    ∫           udu = – cotgu + c

23    ∫udu  = tgu – u+c

24   ∫ udu = -cotgu – u + c

25   ∫ = arctg   + c

26   ∫ = log ()  + c

27   ∫ = arcsin + c

28    ∫ =   log (u + ) + c

29    ∫ = log (u +) + c

30   ∫       du =.arcsin + c

31   ∫ .du =–

32   ∫

33   ∫  shudu = chu + c

34   ∫  chudu = shu + c

35   ∫  thudu = log (chu) +c

 

I.3. İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ

Değişken Dönüştürme Yöntemleri

Değişken dönüştürümü yardımıyla integral hesabı yöntemi diferensiyelin ifadesinin seçilen değişkene bağlı olmaması özelliğine dayanır.

Bu yöntem,

f(x)dx

integralini x değişkenine

x = g(t)

Denklemi ile bağlı olan yeni bir t değişkenin fonksiyonu olarak ifade etmekten ibarettir.

g(t) nin sürekli bir  (t) türevinin olduğu varsayılarak,

f(x)dx = f [g(t)] (t)dt

Olduğundan,

∫ f(x)dx = ∫ f[g(t)] (t)dx yazılır.

Hesaplanması istenilen bir belirsiz integral , uygun bir değişken dönüştürümü ile bilinen bir

şekle  sokulursa, integral yeni t değişkeni cinsinden elde edilir. Sonucu x cinsinden ifade etmek

için, x = g(t) bağıntısından t çözülerek sonuçta yerine koymak yeterlidir.

  ve  ti ihtiva eden İntegraller :

halinde   x  =  t sin ℓ veya  x= t.cos ℓ

halinde    x  =  t.sec ℓ

halinde   x =    t tg  ℓ

 

değişken dönüştürmeleri yapılır.

I.3.2 Kısmi İntegrayon Yöntemi:

U ve v ile, x’in bir [a,b] aralığında sürekli türevleri olan iki fonksiyonunu gösterelim.

uv çarpımının diferensiyeli

d(uv)  =  udv + vdu ‘ dır. Buradan

udv=d(uv)-vdu

yazılır. Bu bağlantının iki tarafının belirsiz integralleri birbirine eşittir:

∫udv =  ∫d(uv) – vdu            veya

∫udv = uv – ∫vdu ‘ dur.

Kısmi integrasyon metodu bu formül  ile verilmiştir ve yöntemin esası hesaplanması istenilen

∫ udv             yerine hesaplanması daha kolay olabilen

∫ vdu belirsiz integralini kaymayı mümkün kılar.

  1. BELİRLİ İNTEGRAL

II.1 Belirli İntegralin Tanımı: f(x) , x = a dan x = b’ye kadar olan aralıkta sürekli bir fonksiyon olsun. Bu aralığı , apsisleri a,,….,xn – 1, b olan n parçaya bölelim. Aralıkların boyları,

, …. , ∆xn olsun. Bu aralıkların her birinde x’in x’1, x’2 , x3’…., x’n gibi herhangi

değerleri alalım f(x)’in x = a , x=b imitleri arasındaki belirli integrali diye:

f(x) dx = ℓim  f(x 😉 ∆x, + ℓ(’) x2+… + f(1)

n→ 8

 

 

= ℓim    ∑  f(xi1)  xi

n→ 8

=| ∫ f(x) dx| b   = F(x) b  = F(b) – F(a)

Ya denir. Buradaki F(x) fonksiyonu türevi f(x) olan bir fonksiyondur.

II.2.Belirli İntegrale Ait Başlıca Teoremler

B f1(x) + f2(x) +….+ fn (x)  dx=    f1 (x) dx +    b f2(x) dx +…+  b fn (x) dx

k.f (x) dx =  k.   B f(x) dx

f (x) dx = –  a f(x) dx

f(x) dx =  c  f(x) dx   + b f(x) dx

f(x) dx =  (b-a)f(x1)

f(x)dx = Lism f(x) dx

III. İNTEGRALLERİN HESAPLAMA YÖNTEMLERİ

III.1.TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ

III.1,1.Dairesel Fonksiyonlar (Trigonometrik Foksiyonlar) cinsinden

Rasyonel Olarak İfade Edilen Fonksiyonların integrali

(Yarım Açı Metodu)

P(x,y), Q(x,y), x ve y’bir polinom olmak üzere

 

I.1 R (x,y), x veya y’li rasyonel fonksiyon ise R(sinx, cosx,),sinx ve cosx li rasyonel bir fonksiyondur.

Trigonometriden  sinx=            ,  cosx=    olduğu biliniyor.

R rasyonel bir fonksiyon olmak üzere

∫R (sinx,cosx) dx  integrali  u = tan  değişken dönüştürme ile R , u’nun  rasyonel fonksiyonu

Olmak üzere ∫R,(u )du şekline dönüşür.

Gerçekten                               x     = 2Arctonu

dx   =

 

sinx   =

Tan

COSX  =     

eşitlikleri kullanılarak  ∫R(sinx , cosx) dx  integrali rasyonel kesirlerin integraline dönüşmüş olur.

I.2.  ∫sinax.coobxdx,    ∫sinax.sinbxdx , ∫cosax coobx şeklinde integraller

Bu integrali almak için

Sinax . Sinbx   =   [cos(a-b)x- cos (a+b)x]

sinax . cosbx =  [ sin(a-b)x – sin (a+b)x]

Sinax .  cosbx =  [cos (a-b)x- cos(a+b)x]

I .3.Sinx ve coox Cinsinden Bir Polinomun İntegrali

Bu integraller, a ve b pozitif tam sayı olmak üzere ∫ şeklindeki terimleri ihtiva ederler. Bu tür integrallerin alınmasında üç durumdan söz edilebilir. Bunlar a ve b’nin  ikisininde tek olma, birinin tek birinin çift olma ve ikisininde çift olma durumudur, Bunları tek tek inceliyelim.

  1. a ve b’nin Tek olma Durumu

∫ şeklindeki integralde a ve b tek ise bu integral rasyonel bir fonksiyon olmak üzere

∫R(sinx)cosxdx veya ∫R(cosx)sinxdx şekline dönüşür. Bu durumda sırayla sinx = t ve cos

x = t  değişken değiştirmesi yapılır. Bunu biraz daha açıklayalım a ve b ikiside tek ise p,q € N

olmak üzere a = 2p +1, b = 2q + 1 olur.

∫ = ∫ = ∫ sinxdx

= ∫ ()p cos 2q+1 xdx = ∫r(cosx)sinxdx

veya

∫ = ∫  = ∫,

=∫ xcosxdx = ∫R(sinx)cosxdx

Uyarı!  sinax. coobx dx integralinde a ve b’ nin ikiside tek olduğu zaman küçük olanı parçalamak, daha kısa yoldan integralin alınmasını sağlar.

  1. b) a ve b’ den birinin tek birinin çift olma durumu

Bu durumda ave b’den hangisi tek ise onun için a b’ nin tek olma durumunda kullanılan yol takip edilir.

C ) a ve b’nin çift olma durumu

Bu durumda p’q’ € N olmak üzere a=2a , b=2q olur.

Sinaxcosbxdx = sin2p cos2qxdx = (sin2x)p . cos2x)q dx olur.

Bu integrali almak için;

=  ,  = eşitliklerinden faydalanabilir.

I.4.D ∫f(sinx,  coox)dx Şeklindeki İntegraller İçin Özel Metodlar

∫R (sinx, coox )dx şeklindeki integrallerin alınmasında integrand rasyonel ise yarım açı metodu daima kullanılabilir. Fakat bazı durumlarda bu dönüşüm çok karmaşık rasyonel fonksiyonların integrallerini götürür. Onun için bu integralleri sonuca hemen götürecek özel metotlardan faydalanılacaktır. Bunlardan bazılarını açıklayalım.

  1. ∫g (sinx,)coox dx veya ∫g (coox) sinxdx şeklindeki İntegraller

ℓ(sinx, coox) ifadesi, sinx, in üssü pozitif ve tek ise  bu ifade g(coox)sinx şekline, coox’in üssü pozitif ve tek ise g(sinx) coox şekline getirebilir.Bu durumda sırayla sinx=t, coox=t değişken değiştirmesi yapılarak integral alınır.

    b)∫R(tanx)dx veya ∫R(cotonx)dx Şeklindeki İntegraller

f(sinx,coox) ifadesi  R(tanx) ve  R(cotonx) şekline getirilebiliyorsa sırasıyla tanx=t veya  coton

x=t değişken değiştirmesi uygun olur.

  1. c) ∫R(sinx,coox)dx integral inde sinx ve coox’in üssünün çift olma hali

sinx ve coox’in üssü çift olduğu zaman tonx =t değişken değiştirmesi yapmak uygun olur.

  1. d) tanpx.secqx dx şeklindeki integraller

p nin pozitif  tek sayı olma durumu

p=2n+1  (n€N) olsun. Bu takdirde

∫   = ∫   = ∫ elde edilir.                      eşitliği dikkatle alınırsa

∫()tanx = ∫().  x.tanx.secxdx = ∫ℓ(secx)tanxsexdx elde edilir

secx = u değişken değiştirmesi yapılırsa tansecx= du olur. Bu değerler yukarıda yerine yazılırsa verilen integral

∫ = ∫ d(). du şekline dönüşür.

q’nun Pozitif Çift Olma Hali

q=2a (a € N+) olsun . Bu durumda

∫  ()dx = ∫ tanpx xdx=∫tanpxd

∫ tanpx()= ∫tanpx(1+tan2x). = f(tanx) elde edilir. tanx=u

değişken değiştirmesi yapılırsa sec2xdx = du olur.

Bu değerler yukarıda kullanılırsa

∫Tanpxsecqxdx= ∫f(u)du şekline dönüşülür.

  1. e) ∫  integralinde a+b’nin Negatif ve çift sayı olma hali

Çift sayı olma hali

A+b=-2p (p € N+) olsun. Bu durumda verilen integral

∫,  = ∫.

∫tannx   dx = ∫tann x ()pdx=∫ tannx(1+tan2x)pdx şekline girer . tanx = t değişken değiştirmesi yapılırsa

 

= .  = ∫ şekline dönüşür.

 

  1. f) ∫dx Şeklindeki İntegraller

Bu tür integrallerde trigonometrik özdeşliklerden istifade edilecek kök dışına çıkarılmalıdır.Bu yapılamıyorsa uygun değişken değiştirme aranmalıdır.

III.1.2 ∫sinax.sinbxdx, ∫sinax.cosbxdx, ∫cosox.cosbxdx

1)∫cos4xcos3xdx      integralini hesaplayınız.

∫cos4xcos3xdx = ∫ (cos7x+cosx)dx

=

=  

2)∫. integralini hesaplayınız.

∫ ∫

=  

=

=

3) ∫sinx, sin3xdx integrallerini hesaplayınız.

=∫sinx,sin3xdx = ∫[cos2x-cos4x]dx

= 

4) ∫cos(x+b.cos(ax-b)dx integralini hesaplayınız.

=∫cos(ax+b).cos(ax-b)dx =  ∫(cos2ax + cos2b)

 

=  

 

=   

5)∫sin(1-x).cos(1-x)dxintegralini hesaplayınız.

=∫sin(1-x).cos(1-x) dx = ∫(sin(2-2x) +sinO) dx

=  

=   

6) ∫sinx.sin2x.sin3xdx   integralini hesaplayınız.

= ∫sinx.sin2x.sin3xdx = ∫

= ∫(sin2x.cos2x – sin2x.cos4x)dx

= ∫[ 

 

=  ∫(sin4x – sin6x +sin2x)dx

=  

=

7)   integralini hesaplayınız.

= ∫(

2 π

=(

8) ∫sin ( sinx) sin2xdx integralini hesaplayalım.

u=sinx          du = 2sinxcosxdx

du = sin2xdx

∫ sin ( sinx) sin2xdx =  ∫sinu.du

= -cosu + c

= -cos(sinx)+c

9) sin3xcos5xdx integralini hesaplayınız.

= sin3xcos5xdx = ∫(sin (-2x) + sin8x) dx

=

= 1 (cos4x – cos8x) = 1 [(1-1)-(1-1)] = 0

10)  sin2xcosbxdx  integralini hesaplayınız.

=  sin2xcosbxdx = [ sin8x + sin(-4x)]

=

=

=  (                                                 = 

= 0

III.1.3. ∫ sinx.cosbxdx

1)  ∫ integralini hesaplayınız.

∫cosx.sinxdx=)∫cosx.sinx.sinxdx= ∫cosx(1-cosx). sinxdx

cosx = u

-sinxdx = du olur.

=∫(cosx.sinxdx) = -∫u(1-u)du = -∫u(1-4u-6u-4u-u)du

=∫(ud-4u+6u – 4u  + u)du = 

=

2)  ∫ integralini hesaplayınız.

 

∫ = ∫

Sinx = u        →      cosxdx = du

 

∫ = ∫

= ∫

=   

=     

= 

3) ∫ integralini hesaplayınız.

Tanx = u       sinx = ,      cosx =   ,  dx=

 

∫                 = ∫   .

=∫((

=

4)  integralini hesaplayınız.

=∫ = ∫

Sinx = u        →        cosxdx = du

= ∫

=   

5)   integralini hesaplayınız..

cosx=u

∫ = -∫cos3x(1-cos2x)2du

=-∫u3(1-u2)2du=-∫

=(

=(

III.2.     BİNOM İNTEGRALİ

III.2.1. BİNOM İNTEGRAL HESABI

∫ integrali

α  β  γ  Rasyonel sabitler,  a ve b reel sabitler olduğuna göre, verilen integral içindeki ifadeye binom diferansiyeli denir. Aşağıdaki üç halden birinde bulunuyor isek bu integrali esaplamak mümkün olabilmektedir.

  1. γ tam bir sayı ise integral ∫Rx ,x )dx şeklinde olur. α  ve β  ‘nın paydalarının en küçük ortak katı N ise

X =

Dönüştürmesi yapılır..

  1. tam sayı ise

Ax β+b = t

Dönüştürmesi yapılarak

 

=, x= ()1/β ;  = (

dx  =  

Olup

∫ = ∫ (

İntegraline varılır. Bu ise aynı tipte bir integraldir. Ancak α+1/β bir tamsayı olduğu için α+1/β -1 de tamsayı olarak bu integral I. Halde yani γ’nin tamsayı olması hali,ndeki integral şeklinde olacaktır. O halde t γ ‘nın üssü olan  γ’nın paydası x ise N= x olarak

T=

Dönüştürmesi yapılmalıdır. Böylece u’nun rasyonel bir fonksiyonunun integraline varılır.d Bu iki dönüştürme birleştirilirse bu halde

Ax+b = uv

Dönüştürmesini yapmak gerekir.

  1. tamsayı ise

∫x  (ax  + b)γ dx = ∫x [ +bx-] γ dx

∫x  ( a+bx – )dx

Yazılarak II. hal uygulanır.

Gerçekten yukarıdaki      yerine burada

-β                                 β

Gelmiş olurki bu da hipoterimize göre tam bir sayıdır. O halde

yani

 

Dönüştürmesi yapılır.

III. 2.2. BİNOM

1) dx integralini hesaplayınız.

M=-1,           n=2,     p=

1+x =t                 x=1  → t= dx       =  tdt

x=2  → t=5

.  = √

=                              =(-[(   ℓn │)-(    ℓn ││ )]

 

 

 

=( │ )-(  1  ℓn │ │ )]

2)  = integralini hesaplayınız.

α + 1   =   = 2    olup tam  γ =   olup 1+

 

x= için =                       x = 2 için   √1+22 = √5

1+ =          x = (-1)- 2udu

dx =  ()- 2udu

 

dx = 1 2udu

 

=  = ) |

=[

3) ∫  integralini hesaplayınız.

,  = = 2 € Z olduğundan

=   →  x =  değişken değiştirmesi yapılır. x ve dx değerleri integralde yerine yazılırsa

 

∫      = ∫

=  ∫

= ∫ = ∫

=

=

4) I = ∫integralini hesaplayınız.

→        2xdx =

integralini hesaplayınız

 

(tam değil)

dönüştürme yapılırsa

integrali basit kesirler oplamı şeklinde yazılarak alınırsa

 

 

=

 

 

Değeri yerine yazılırsa

 

integralini hesaplayınız.

 

 

K=

 

VI.KAYNAKLAR 

1) Prof.Dr.Saffet   SÜRAY

UMUMİ  MATEMATİK –CİLT

2)Prof. Ahmet   Karadeniz

YÜKSEK   MATEMATİK   PROBLEMLERİ

3)Prof.Dr.Hamdi   Arılan,Dr.Ömer   Faruk   Gözükızıl , Dr.İbrahim  Özgür

GENEL  MATEMATİK   2

4) Prof.Dr.Ahmet  A.Karadeniz

YÜKSEK   MATEMATİK-CİLT1

5) DERS NOTLARI

6) Yrd.Doç.Dr.Hacı   SULAK

BELİRSİZ   İNTEGRAL